구면상 두 지점간의 최단거리 및 방향

May 8, 2016

거리를 코사인법칙, 각을 사인법칙으로 구하기 때문에 두 법칙을 먼저 평면상에서 살펴보면:

                B
               /|\
              / | \
           c /  |  \ a
            /  h|   \
           /    |    \
          /  b1 | b2  \
        A ------------- C
                b

  h = csinA = asinC
    = a/sinA = c/sinC

  b1 = b - b2 = ccosA
  b2 = b - b1 = acosC

  c^2 = b1^2 + h^2
      = (b - b2)^2 + h^2
      = (b - acosC)^2 + h^2
      = (b^2 - 2abcosC + a^2cos^2C) + h^2
      = b^2 - 2abcosC + a^2cos^2C + a^2sin^2C
      = b^2 - 2abcosC + a^2(cos^2C + sin^2C)
      = a^2 + b^2 - 2abcosC

위 공식이 구면상에서는 다음과 같이 도출된다:

constraints

오른쪽 그림과 같이 한 지점을 xy축(혹은 경위도) 성분으로 구분하면 다음과 같은 성질을 찾을 수 있다:

	* b는 주어진 lon과 같다
	* a는 주어진 lat과 같다
	(여기서 a, b, c는 각 A, B, C의 대변)

	z = rsin(a)
	d = rcos(a)
	x = dcos(b) = rcos(a)cos(b) = rcos(c)
	y = dsin(b) = rcos(a)sin(b)
	h = rsin(c)

	sin(A) = z/h = rsin(a)/rsin(c) = sin(a)/sin(c)

이를 이용하여 왼쪽 그림의 sin(A)와  sin(C)를 구하면,

	sin(A) = sin(h)/sin(c), sin(C) = sin(h)/sin(a)
	sin(h) = sin(A)sin(c) = sin(C)sin(a)
	sin(A)/sin(a) = sin(C)/sin(c)

왼쪽 그림과 같이 두 지점 중 한 지점을 X축(혹은 본초 자오선)에 두고 보조 꼭지점 C를 Z축(경선 90도)에 둔다면, 각 변과 라디안 값은 다음과 같다:

	a = PI/2 - lat2
	b = PI/2 - lat1
	d = rcos(lat2) = rsin(a)

	Ax = rcos(lat1) = rsin(b)
	Ay = 0
	Az = rsin(lat1) = rcos(b)

	Bx = dcos(lon2) = rcos(lat2)cos(lon2) = rsin(a)cos(C)
	By = dsin(lon2) = rcos(lat2)sin(lon2) = rsin(a)sin(C)
	Bz = rsin(lat2) = rcos(a)

	A dot product B = sin(b)sin(a)sin(C) + cos(b)cos(a)
	                = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(C) = cos(c)

	distance = acos(cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(C))

	sin(A)/sin(a) = sin(C)/sin(c)
	sin(A) = sin(a)sin(C)/sin(c)

	bearing = asin(sin(a)sin(C)/sin(c))

추가적으로 오른쪽 그림에서 구면상 코사인법칙을 유도하면:

  z = rsin(a)
  d = rcos(a)
  x = dcos(b) = rcos(a)cos(b) = rcos(c)
  y = dsin(b) = rcos(a)sin(b)
  h = rsin(c)

  h^2 = y^2 + z^2
  r^2sin^2(c) = r^2cos^2(a)sin^2(b) + r^2sin^2(a)
  sin^2(c) = cos^2(a)sin^2(b) + sin^2(a)
  1 - cos^2(c) = cos^2(a)(1 - cos^2(b)) + sin^2(a)
               = cos^2(a) - cos^2(a)cos^2(b) + sin^2(a)
               = sin^2(a) + cos^2(a) - cos^2(a)cos^2(b)
               = 1 - cos^2(a)cos^2(b)
  cos^2(c) = cos^2(a)cos^2(b)
  cos(c) = cos(a)cos(b)

  따라서 왼쪽 그림의 구면 삼각형에 대입하면,

  cos(c) = cos(h)cos(b1)
  cos(a) = cos(h)cos(b2) => cos(h) = cos(a)/cos(b2)

  cos(c) = cos(a)cos(b1)/cos(b2)

  cos(b1) = cos(b - b2) = cos(b)cos(b2) + sin(b)sin(b2)

  cos(c) = cos(a)(cos(b)cos(b2) + sin(b)sin(b2)) / cos(b2)
         = cos(a)cos(b) + cos(a)sin(b)tan(b2)
         = cos(a)cos(b) + cos(a)sin(b)cosC(sin(a)/cos(a))
         = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(C)

다음식의 전개도 증명할 것
- cos(b1) = cos(b - b2) = cos(b)cos(b2) + sin(b)sin(b2)
- tan(b2) = cos(C)tan(a) = cos(C)sin(a)/cos(a)